tantribout
New member
- Joined
- Jun 25, 2018
- Messages
- 1
How to find projected area in the x-z plane of an ellipsoidal cap rotated by angle β?
I want the projected area of the cap in the x-z plane from bounds of maximum y to max x and min y ( = - max y) to max x as shown for the elliptic base in
https://math.stackexchange.com/questions/2828409/how-to-find-the-projected-area-in-the-x-z-plane-of-an-ellipsoidal-cap-rotated-by
The points on ellipsoid in spherical coordinates are
Is my expression for the integrand wrong? Please help.
Thanks.
I want the projected area of the cap in the x-z plane from bounds of maximum y to max x and min y ( = - max y) to max x as shown for the elliptic base in
https://math.stackexchange.com/questions/2828409/how-to-find-the-projected-area-in-the-x-z-plane-of-an-ellipsoidal-cap-rotated-by
The points on ellipsoid in spherical coordinates are
[FONT=MathJax_Math-italic]x[FONT=MathJax_Main]=[FONT=MathJax_Main]([FONT=MathJax_Math-italic]a[FONT=MathJax_Main]cos[FONT=MathJax_Main]([FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]cos[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]β[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]β[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT]
[FONT=MathJax_Math-italic]y[FONT=MathJax_Main]=[FONT=MathJax_Main]([FONT=MathJax_Math-italic]a[FONT=MathJax_Main]cos[FONT=MathJax_Main]([FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]β[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]cos[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]β[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT]y[/FONT][/FONT]
[FONT=MathJax_Math-italic]z[FONT=MathJax_Main]=[FONT=MathJax_Math-italic]c[FONT=MathJax_Main]cos[FONT=MathJax_Main]([FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[FONT=MathJax_Main])[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT]
[FONT=MathJax_Math-italic]A[FONT=MathJax_Math-italic]x[FONT=MathJax_Math-italic]z[/FONT][/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Size2]∬[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]x[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]z[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Size2]∬[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]e[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]t[/FONT][FONT=MathJax_Main]∂[FONT=MathJax_Main]([FONT=MathJax_Math-italic]x[FONT=MathJax_Main],[FONT=MathJax_Math-italic]z[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Main]∂[FONT=MathJax_Main]([FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Size2]∫[FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Size2]∫[FONT=MathJax_Math-italic]θ[FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[FONT=MathJax_Main]1[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]c[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Main]cos[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]β[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]cos[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]β[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[FONT=MathJax_Main]2[/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[/FONT]
[FONT=MathJax_Math-italic]y[FONT=MathJax_Main]=[FONT=MathJax_Main]([FONT=MathJax_Math-italic]a[FONT=MathJax_Main]cos[FONT=MathJax_Main]([FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]β[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]cos[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]β[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT]y[/FONT][/FONT]
[FONT=MathJax_Math-italic]z[FONT=MathJax_Main]=[FONT=MathJax_Math-italic]c[FONT=MathJax_Main]cos[FONT=MathJax_Main]([FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[FONT=MathJax_Main])[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT]
[FONT=MathJax_Math-italic]A[FONT=MathJax_Math-italic]x[FONT=MathJax_Math-italic]z[/FONT][/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Size2]∬[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]x[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]z[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Size2]∬[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]e[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]t[/FONT][FONT=MathJax_Main]∂[FONT=MathJax_Main]([FONT=MathJax_Math-italic]x[FONT=MathJax_Main],[FONT=MathJax_Math-italic]z[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Main]∂[FONT=MathJax_Main]([FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Size2]∫[FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Size2]∫[FONT=MathJax_Math-italic]θ[FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[FONT=MathJax_Main]1[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]c[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Main]cos[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]β[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]cos[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]β[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]sin[FONT=MathJax_Main]2[/FONT][/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]θ[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]d[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]ϕ[/FONT]
Is my expression for the integrand wrong? Please help.
Thanks.